Manual. Curso introducción de R. Capítulo 18: Modelos de regresión de Poisson

Cuando disponemos de un número de eventos que ocurren en un intervalo tiempo estamos ante una variable de poisson, además tiene que producirse que este número de eventos en intervalos sean independientes del número de eventos que ocurran fuera de ese intervalo de tiempo. En un intervalo muy pequeño la probabilidad de que ocurra un evento es proporcional al tamaño del intervalo y por último la probabilidad de que ocurran dos o más eventos en un intervalo muy pequeño es prácticamente 0. Cualquier variable medida en un intervalo de tiempo o en un intervalo espacial es una variable de Poisson, también se pueden emplear para medir frecuencias en intervalos de población (casos de cáncer en poblaciones, frecuencias siniestrales,…). Tiene como particularidad que la media y la varianza son iguales a p*s donde  p es la probabilidad de ocurrencia de un evento de poisson en un intervalo de tiempo de tamaño unidad y s es el tamaño del intervalo de tiempo o espacial en estudio.

Un modelo de regresión de Poisson mide la relación de dependencia de una variable de Poisson con una o varias variables. Si p, repetimos,  es la probabilidad de ocurrencia de un evento de poisson en un intervalo de tiempo de tamaño unidad y s es el tamaño del intervalo el modelo matemático podría expresarse  como LN(p*s) = B0 + B1*X1 + B2*X2 + … + Bn*Xn. De este modo si X1=X2=…=Xn=0 => p=e**B0 luego e**B0 es la probabilidad de que ocurra el evento en un intervalo igual a 1. También podría expresarse como LN(p)=LN(s) + B0 + B1*X1 +…+ Bn*Xn Para ilustrar este ejemplo partimos de una BBDD access que contiene reclamaciones en una compañía aseguradora:

Para conectar R con una BBDD Access es necesario tener el paquete RODBC  que seguro que disponéis. En nuestro ejemplo concreto al no disponer del paquete las instrucciones a ejecutar para disponer de un data.frame de trabajo son las siguientes:

install.packages("RODBC")
setwd("c:/raul/trabajo") #Especificamos el directorio de trabajo.
library(RODBC) #Cargamos los paquetes.
bd<-odbcConnectAccess("bd1.mdb")
bd #Analizamos la conexión ODBC
RODBC Connection 2
Details:
case=nochange
DBQ=c:\raul\trabajo\bd1.mdb
Driver={Microsoft Access Driver (*.mdb)}
DriverId=25
FIL=MS Access
MaxBufferSize=2048
PageTimeout=5
UID=admin


La conexión funciona perfectamente. Ahora tenemos que realizar la query:

datos<-sqlQuery(bd,"SELECT * FROM tabla")
datos=data.frame(datos)

Como se puede observar la forma de ejecutar sql bajo R requiere de la creación del objeto que contiene la BBDD y posteriormente sobre ese objeto ejecutar la consulta a la tabla que contiene los datos dentro de la BBDD (en este caso tabla). Ya tenemos los datos preparados y nuestro problema es ajustar un modelo de regresión al número de reclamaciones de una compañía aseguradora que se distribuye como una poisson en función del tamaño del coche y del grupo de edad de los asegurados. El modelo es, como hemos visto antes, LN(p)=LN(s) + B0 + B1*X1 +…+ Bn*Xn donde p es la probabilidad de realizar una reclamación (el evento de poisson) y s es el tamaño de la población, el logaritmo del tamaño poblacional o de la exposición lo denominaremos variable offset; lo que traducido al caso que nos ocupa es LN(p)=LN(POBLACION) + BO + B1*RECLAM + B2*GRUPO_EDAD. En R:

datosln_pob=log(datospoblacion) #Creamos la variable offset
modelo.poisson=glm(reclam~offset(ln_pob)+tamanio_coche+grupo_edad,data=datos,family=poisson()) #Creamos el modelo


Empleamos GLM para la creación del modelo, la variable dependiente evidentemente será el número de reclamaciones, como offset o variable de exposición tenemos el logaritmo del tamaño de la población, las variables independientes serán el tamaño del coche y el grupo de edad. Con family indicamos que se realice el modelo de poisson. Sumaricemos el modelo:

summary(modelo.poisson)
Call:
glm(formula = reclam ~ offset(ln_pob) + tamanio_coche + grupo_edad,
family = poisson(), data = datos)
Deviance Residuals:
1 2 3 4 5 6
1.00847 -0.93383 -0.21139 -0.60484 0.71931 0.06088
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -5.7209 0.3669 -15.592 < 2e-16 ***
tamanio_cochemedium 1.0715 0.2784 3.848 0.000119 ***
tamanio_cochesmall 1.7643 0.2724 6.478 9.32e-11 ***
grupo_edad 1.3199 0.1359 9.713 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
Null deviance: 175.1536 on 5 degrees of freedom
Residual deviance: 2.8207 on 2 degrees of freedom
AIC: 40.928
Number of Fisher Scoring iterations: 4


El primer paso es validar la hipótesis de varianza = media que define una distribución de poisson. Para ello hacemos desvianza/grados de libertad en nuestro cado 2,8/4 = 1,4 Parece que tenemos una ligera sobredispersión. Ya estamos en disposición de emplear nuestro modelo para realizar estimaciones:

estima<-c(1,0,0,0)
modelo.poissoncoefficients
(Intercept) tamanio_cochemedium tamanio_cochesmall
-5.720905 1.071503 1.764281
grupo_edad
1.319933
exp(sum(modelo.poissoncoefficients*t(estima)))
[1] 0.003276745


Hemos creado una matriz de una fila y cuatro columnas de 0 y 1 donde el primer término multiplica al término independiente de nuestro modelo, el segundo término multiplica al tamaño del coche “médium”, el tercer al tamaño del coche “small” y por último al grupo de edad 1. Así pues en el ejemplo buscamos la incidencia de las reclamaciones en (1,0,0,0) o lo que es lo mismo e**(-5.72)= 0.003276745. Si deseamos conocer las estimaciones de nuestro modelo:

modelo.poisson$fitted.values
1 2 3 4 5 6
35.798902 42.974556 1.226541 107.201098 67.025444 13.773459

Donde de 1 a 6 tenemos las 6 posibles combinaciones de los niveles de tamaño del coche por grupo de edad. Espero que este mensaje os ayude a conocer mejor o a acercaros a los modelos de regresión de poisson, modelos imprescindibles en la creación de tarifas en seguros por ejemplo. ¿Por qué no emplear R en una aseguradora?